ЧАСТЬ 1

 

При выполнении заданий А1 – А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "´" в клеточке, номер которой  соответствует номеру выбранного вами ответа.

 

 

Выполните действия    .

Решение:

 

Верный ответ: 4).

1)

2)

3)

4)

 

 

 

Найдите значение выражения       .

Решение:

Верный ответ: 4).

 

1)

2)

625

3)

4)

20

 

 

 

Вычислите:     .

Решение:

 

 

 

Верный ответ: 1).

 

1)

1

2)

3)

9

4)

27

 

 

 

На одном из рисунков изображен график чётной функции.

Укажите этот рисунок.

 

1)		2)
3)		4)

 

Решение: График чётной функции симметричен сам себе относительно оси ординат.

Из представленных графиков таким свойством обладает график 1)

Верный ответ: 1).

 

Найдите производную функции   

Решение:

 

Верный ответ: 2).

 

1)
2)
3)
4)

 

 

Найдите множество значений функции     .

Решение: Область значений логарифмической функции ;

Добавка 1,5 к области  не изменяет область значений.

Верный ответ: 1).

 

1)
2)
3)
4)

 

 

Решите уравнение     

Решение:

Верный ответ: 2).

1)
2)
3)
4)

 

 

 

 

Решите неравенство     

Решение:

Верный ответ: 3).

 

1)
2)
3)
4)

 

 

 

На рисунке изображены графики функций 
 и  заданных на промежутке
. Укажите те значения х, для которых  выполняется  неравенство  .

Решение: Значения функции f(x) больше или равны g(x) , если визуально график f(x) выше или совпадает с g(x) по оси OY. Такое происходит на области определения [-3;-1]È[2;6].

Верный ответ: 4).

 

1)
2)
3)
4)

 

 

 

Найдите область определения функции     y = .

Решение: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

 

 

 

Верный ответ: 3).

1)

(0,5;  + ∞)

2)

(– ∞;  0,5]

3)

[0,5;  + ∞)

4)

[2;  + ∞)

 

 

Ответом на задания В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

 

 

Найдите значение выражения     , если    

Решение:

 

Записать ответ: 1.

 

Решите уравнение     .

Решение:

Записать ответ: 2.

 

 

 

Решите уравнение     .

 

1) Решение:

 Проверим полученные значения  значит число 3 не является корнем уравнения.
Проверим число – 2.

 

 

     Число – 2 является корнем уравнения.

Записать ответ: - 2.

 2) Можно предварительно найти значения, которые могут быть корнями уравнения, т.е. так называемое ОДЗ.

 

 

   

 

 

                                                                                     -1,5               0                      2

                            -                                

                                                                                    +                           -                                       +

Выберем значение 0, тогда 2(0-2)(0+1,5) имеет знак минус,и методом интервалов определяем знаки в других промежутках. Учитывая второе условие получим область (-∞; -1,5). Из найденных корней этому условию удовлетворяет лишь число -2.

ЧАСТЬ 2

 

Вычислите значение выражения 

.

Решение:  

 

 

Записать ответ: - 3.

 

 

Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции  в точке . Найдите.

Решение: Производная равна тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси OX. Тангенс этого угла равен отношению ординаты к абсциссе точки касания.

 

Записать ответ: -2

 

 

Сколько целочисленных решений имеет неравенство ?Решение: Выражение  на знак не влияет, потому что оно положительно.Значит необходимо решить неравенство   

Решение неравенства [- 6 ; 1].

Целочисленные решения: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.

Из этих значений необходимо выбросить те значения, при которых тангенс не существует  т.е. -2,-6 , остаётся 6.

 

Записать  ответ: 6.

 

 

Решите уравнение     

 

Преобразуем функцию, которая стоит справа

 

 

 

 

Область значений этого выражения  [1;2]

Найдём область значений функции, которая стоит слева

25x² – 20x +6= 25x² – 20x +4+2=(5x-2)² + 2. Вершина параболы имеет координаты x = 0,4  y = 2 и ветви параболы направлены вверх.

Область значений [2;+ ∞]. Получаем,  что области значений функций имеют только одну точку пересечения 2 , при х = 0,4.

Записать ответ: 0,4.  

 

 

Периодическая функция    определена для всех действительных чисел. Её период  равен 2  и  . Найдите значение выражения  .

Функция называется периодической c периодом T, если f(x+Tn) = f(x – Tn) = f(x), nÎZ.

Решение: 3f(7) – 4f(-3) = 3f( 1+3×2) – 4f(1 – 2) = 3f(1) – 4f(1) = 3×5 - 4×5= - 5.

Записать ответ: - 5.

 

 

 

 

 

 

 

В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, ежемесячно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый месяц уменьшалась цена магнитофона, если, выставленный на продажу за  4000 рублей, он через два месяца был продан за 2250 рублей.

За первый месяц при уменьшении на p процентов цена товара станет равной

4000 – 40p, за второй 4000 – 40p – (4000 – 40p)p/100.

Получим уравнение

 

 

 

 

 

Проверим 4000-0,25×40000=30000

30000-0,25×3000=2250.

Второе значение не подходит, при вычитании 175% получится отрицательное число.

Записать ответ: 25.

 

Основание прямой треугольной призмы  – треугольник АВС, в котором ÐC = 60°,  AB = BC = .  На ребре  отмечена точка P так, что   Найдите тангенс угла между плоскостями AВС и ACP, если расстояние между прямыми BC и  равно 16.

 

             A₁                                   B₁

 

     

                    C₁

 

                                                     P

                                                         

              А                                    B  

 

                 O       

                   C

 

 

Решение: Расстояние между ВС и А₁С₁ равно длине каждого ребра призмы(расстояние между плоскостями  в которых находятся эти отрезки),

 

Треугольник АВС равнобедренный по условию. Треугольник APC также равнобедренный т.к. АР и СР гипотенузы равных треугольников АРВ и СРВ по катету РВ и равным по условию катетам АВ и СВ. Значит тангенс угла между плоскостями  АРС и АВС равен отношению  РВ и  медианы ВО.

Найдём РВ 3х+5х=16, х=2. РВ = 3×2=6. ОВ = СВ×sin 60°=.

 

 

 

 

 

Записать ответ: 0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, если точки М, Р и К  − середины сторон AB, CD, EF соответственно.

Решение: Треугольник МРК равносторонний и каждая его сторона (например МР равна средней линии трапеции АВСD

BC = 32 AD = 64 =>MP =

 

                                  А                M      В

 

 

                        F                                                   C     

                             K                                       P

 

 

                                    E                             D

 

Записать ответ: 24.

 

 

 

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

 

 

Найдите наибольшее значение функции .

 

        

Решите уравнение  .

 

 

ЧАСТЬ 3

 

Для записи ответов на задания (С3 – С5) используйте бланк ответов №2. Запишите  сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

 

 

 

Найдите все значения , для которых при каждом из промежутка значение выражения   не равно значению выражения   .

 

 

 

 

 

 

 

Отрезок PN – диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если T – середина ребра ML. 

 

 

Решите уравнение  ,  если  известно, что  и  .
Ответы к заданиям демонстрационного варианта по математике.

 

Ответы к заданиям с выбором ответа

 

 

Ответы к заданиям с кратким ответом

 

 

Ответы к заданиям с развернутым ответом

 

 

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНкИ ВЫПОЛНЕНИЯ

ЗАДАНИЙ С РАЗВЁРНУТЫМ ОТВЕТоМ

 

 

~EndLATTest

 

 

Найдите наибольшее значение функции .

Решение:

1)     Функция  f  определена только при . При этих значениях х    , и поэтому . Следовательно, .

2)     Найдем наибольшее значение функции  на отрезке .;  Но  не лежит на отрезке . Сравним числа ,  и . Наибольшее из них 2. Значит, .

 

Ответ: 2.

 

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С1
2	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) найдена область определения функции  и упрощена формула, задающая функцию;  2) найдено наибольшее значение функции. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
1	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущены описка и/или вычислительная ошибка в шаге 2), не влияющие на дальнейший ход решения. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

 

                           

 

Решите уравнение  .

Решение:

.

 

Ответ:  

                                                          

 

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С2
2	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1)     уравнение сведено к  равносильной ему системе, состоящей из уравнения и двух неравенств; 2)     решена полученная  система. Все  преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
1	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена вычислительная ошибка или описка в шаге 2), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

 

 

 

Найдите все значения , для которых при каждом из промежутка  значение выражения   не равно значению выражения   .

.

Решение:

1) Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда выполнено условие

,        где  и .

Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение  не имело корней на промежутке .

2) График функции  (относительно переменной ) есть парабола, изображенная на рисунке: ее ветви направлены вверх, а точка пересечения с осью ординат лежит ниже оси абсцисс (так как ). Поэтому квадратный трехчлен  имеет два корня  и . Если , то , а если , то , поэтому уравнение  имеет корень на промежутке  тогда и только тогда, когда .

3) Решим полученную систему: .

Итак, уравнение  не имеет корней на промежутке  для всех остальных значений , т. е. тогда и только тогда, когда  или .

Ответ: , .

Замечание: в работах выпускников в шаге 2) могут отсутствовать словесные описания, а корни квадратного трехчлена  могут быть вычислены.

 

Баллы	Критерии оценки выполнения задания C3
4	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1)     задача сведена к исследованию корней квадратного уравнения  на соответствующем промежутке; 2)     показано (возможно, только с помощью рисунка), что квадратный трехчлен  имеет два корня разного знака, и получены два условия на параметр , система которых необходима и достаточна для того, чтобы квадратное уравнение  имело корень на соответствующем промежутке; 3)     полученные неравенства решены и найдены оба множества, составляющие искомое множество значений параметра . Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.
3	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допускается, что не показано (ни словесно, ни с помощью рисунка), что квадратный трехчлен  имеет два корня разного знака. В шаге 2, возможно, содержатся неточности, состоящие в том, что строгие (нестрогие) неравенства заменены нестрогими (строгими). Ответ получен и либо верен, либо отличается от верного из-за допущенных в шаге 2 неточностей.
2	Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 2 получены неравенства на параметр а, система которых необходима и достаточна для того, чтобы квадратное уравнение  имело корень на соответствующем промежутке. Возможно, что при этом допущены неточности, состоящие в том, что строгие (нестрогие) неравенства заменены нестрогими (строгими). В шаге 3 найдено (возможно, неверно из-за допущенных в шаге 2 неточностей): ·      либо множество значений параметра а, при которых квадратное уравнение  имеет корень на соответствующем промежутке, ·      либо хотя бы одно из двух множеств, составляющих искомое множество значений параметра а.
1	Приведены шаги 1 и 2 решения, а шаг 3 отсутствует, содержит ошибки или не доведен до конца. В шаге 2 получено хотя бы одно из неравенств на параметр а, необходимое для того, чтобы квадратное уравнение  имело  корень на соответствующем промежутке, при этом в нем, возможно, строгое (нестрогое) неравенство заменено нестрогим (строгим).
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 – 4 балла.

 

 

Отрезок PN – диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если T – середина ребра ML. 

 

 

 

Решение

 

1) Пусть О – центр сферы, а R – ее радиус. Тогда  как диаметр сферы. Поскольку точки M и L  лежат на сфере, то OP = OL = ON = OM = R. Сечения сферы плоскостями PLN и PMN – окружности радиуса R, описанные вокруг треугольников PLN и PMN, причем ÐPMN =ÐPLN = 90⁰ как вписанные углы, опирающиеся на диаметр PN.

2) Пусть H – высота пирамиды PNML, опущенная из вершины M, и h – высота треугольника PLN, проведенная к стороне PN. Поскольку точка M лежит на сфере, а плоскость PLN содержит центр сферы, то , причем , если . Аналогично, поскольку точка L  лежит на сфере, то , причем , если . Отсюда для объема пирамиды PNML имеем . При этом , только если . Таким образом, пирамида PNML имеет наибольший объем, если треугольники PLN и PMN – прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.

3) Поскольку , то  . Но  и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости . Пусть K – середина МО. Проведем KТ – среднюю линию треугольника OLM. Тогда . Значит,  и поэтому KN – проекция NT на плоскость PMN и ÐTNK – угол между прямой NT и плоскостью PMN. Пусть ÐTNK = a.

4) По свойству средней линии . Так как треугольники LON, LOM, NOM равны по двум катетам, то треугольник MNL – правильный со стороной . NT – высота треугольника MNL, значит, . Отсюда  .

Ответ: .